片持ち梁の振動

片持ち梁の1次モードの固有振動数ωは(1.875/L)^2*√(ρA/EI)で求まります。
ここで、L:梁の長さ、ρ:密度、A:断面積、E:ヤング率、I:断面二次モーメント。
但し、ωの単位はrad/secですから、周波数に直します。

ωは角速度です。周波数に直すには、ω＝2πf、ここに、πは円周率、fは周波数。

1.先端加重のない片持ち梁

固有値決定式 1+cos(λL)*cosh(λL)=0
λ1*L=1,875→ω1=λ1^2*√(EI/ρA)→(1.875/L)^2*√(EI/ρA)

2.先端に加重がある場合

固有値決定式　μ*λ*L=[1+cos(λL)*cosh(λL)]/[sin(λL)*cosh(λL)-cos(λL)*sinh(λL)]
μ=m/(ρAL)

ですので、加重なしのとき（μ=0）、固有値方程式は一致します。

連続体の固有振動数の計算式は、参考文献として機械力学の教科書、一例として「谷口修著、（改訂）振動工学（標準機械工学講座5、コロナ社）」があります。

片持ち梁の振動応力 
  
略図のような片持ち梁に荷重をかけた時の固有振動数を求めます。

｜
｜＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝●　　　　●：重り
｜　　　　　　　　　　　　　　　             ＝：梁

材質：SUS304
梁形状　長さ：300mm　径：Φ32mm
重り：50ｋｇ
振動加速度：2G
というような想定　

簡単なモデルで、上下運動させる、その上下運動の具体的は周波数はいくらなのでしょうか？　
固有振動数とはその1次曲げモードを言っているのでは？

また、固有振動数とその時の荷重とのことですが、固有振動数とは上記の通り構造物固有のものであり、荷重を掛けなくても存在します。荷重の絶対値に関係するのではなく、上下運動の加振周波数に依存します。これが固有振動数であれば、梁のたわみは急激に大きくなります。少なくとも上記条件であれば、強制振動になります。

ρA(∂^2・Y/∂t^2) + EI(∂^4・Y/∂x^4) = F(x,t)

ρ：密度
A：梁の断面積
E：ヤング率
I：断面2次モーメント
Y：たわみ
F：強制荷重

F(x,t)=0として解析した場合、固有振動数となります。そして、基本モードの整数倍で固有値が計算出来ます。

あと荷重については、実際の振動方向が切り替わる場合は慣性力が発生するため、少しややこしいが、上記強制荷重をmα・sinωt(m:質量、α：加速度、ω：加振角周波数)で考えてみること。　

SUS304のヤング率Eを190[GPa]と仮定した場合、上記モデルでの固有振動数fは？？.？[Hz]となります。

上記モデルを減衰考慮の1自由度系モデルと仮定した場合、

m(d^2・Y/dt^2)+c(dY/dt)+k・Y = fsinωt ・・・(1)

Y：たわみ
m：おもり質量
c：減衰係数
k：バネ定数(=3EI/(L^3))
f：強制荷重
ω：加振角周波数

が成立します。これを解き、必要な梁荷重P、つまり(1)式の左辺第3項に代入すると、荷重振幅のみを考えた場合、

P / f = ωn^2 / √{(ωn^2-ω^2)^2 + (2ζωn・ω)^2} ・・・(2)

ωn：固有角周波数
ζ：減衰比 (=c/{2√(mk)})

と計算されます。もし減衰を考慮しないならば、ζ=0です。
f=mαとすれば、固有振動数を含めた上記条件での荷重計算ができます。