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自由発想・自由デザインの自作自転車キット
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片持ち梁の1次モードの固有振動数ωは(1.875/L)^2*√(ρA/EI)で求まります。
ここで、L:梁の長さ、ρ:密度、A:断面積、E:ヤング率、I:断面二次モーメント。
但し、ωの単位はrad/secですから、周波数に直します。

ωは角速度です。周波数に直すには、ω=2πf、ここに、πは円周率、fは周波数。

1.先端加重のない片持ち梁
固有値決定式 1+cos(λL)*cosh(λL)=0
λ1*L=1,875→ω1=λ1^2*√(EI/ρA)→(1.875/L)^2*√(EI/ρA)

2.先端に加重がある場合
固有値決定式 μ*λ*L=[1+cos(λL)*cosh(λL)]/[sin(λL)*cosh(λL)-cos(λL)*sinh(λL)]
μ=m/(ρAL)

ですので、加重なしのとき(μ=0)、固有値方程式は一致します。

連続体の固有振動数の計算式は、参考文献として機械力学の教科書、一例として「谷口修著、(改訂)振動工学(標準機械工学講座5、コロナ社)」があります。

片持ち梁の振動応力 
  
略図のような片持ち梁に荷重をかけた時の固有振動数を求めます。


|==========●    ●:重り
|                            =:梁

材質:SUS304
梁形状 長さ:300mm 径:Φ32mm
重り:50kg
振動加速度:2G
というような想定 

簡単なモデルで、上下運動させる、その上下運動の具体的は周波数はいくらなのでしょうか? 
固有振動数とはその1次曲げモードを言っているのでは?

また、固有振動数とその時の荷重とのことですが、固有振動数とは上記の通り構造物固有のものであり、荷重を掛けなくても存在します。荷重の絶対値に関係するのではなく、上下運動の加振周波数に依存します。これが固有振動数であれば、梁のたわみは急激に大きくなります。少なくとも上記条件であれば、強制振動になります。
ρA(∂^2・Y/∂t^2) + EI(∂^4・Y/∂x^4) = F(x,t)

ρ:密度
A:梁の断面積
E:ヤング率
I:断面2次モーメント
Y:たわみ
F:強制荷重

F(x,t)=0として解析した場合、固有振動数となります。そして、基本モードの整数倍で固有値が計算出来ます。

あと荷重については、実際の振動方向が切り替わる場合は慣性力が発生するため、少しややこしいが、上記強制荷重をmα・sinωt(m:質量、α:加速度、ω:加振角周波数)で考えてみること。 

SUS304のヤング率Eを190[GPa]と仮定した場合、上記モデルでの固有振動数fは??.?[Hz]となります。

上記モデルを減衰考慮の1自由度系モデルと仮定した場合、
m(d^2・Y/dt^2)+c(dY/dt)+k・Y = fsinωt ・・・(1)

Y:たわみ
m:おもり質量
c:減衰係数
k:バネ定数(=3EI/(L^3))
f:強制荷重
ω:加振角周波数
が成立します。これを解き、必要な梁荷重P、つまり(1)式の左辺第3項に代入すると、荷重振幅のみを考えた場合、
P / f = ωn^2 / √{(ωn^2-ω^2)^2 + (2ζωn・ω)^2} ・・・(2)

ωn:固有角周波数
ζ:減衰比 (=c/{2√(mk)})
と計算されます。もし減衰を考慮しないならば、ζ=0です。
f=mαとすれば、固有振動数を含めた上記条件での荷重計算ができます。

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